Answer :
f(x) = ln(6−x) --------> f(0) = ln(6)
f'(x) = −1/(6−x) -----> f'(0) = −1/6
f''(x) = −1/(6−x)² -----> f''(0) = −1/6²
f'''(x) = −2/(6−x)³ -----> f'''(0) = −2/6³
f⁽⁴⁾(x) = −6/(6−x)⁴ -----> f⁽⁴⁾(0) = −6/6⁴
f(x) = ln(6) − (1/6) x − (1/6²)/2! x² − (2/6³)/3! x³ − (6/6⁴)/4! x⁴ − ... − ((n−1)!/6^n)/n! x^n − ...
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/(2*6²) − x³/(3*6³) − x⁴/(4*6⁴) − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/72 − x³/648 − x⁴/5184 − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
====================
Alternate method:
Use series for ln(1−x) centred at x = 0
ln(1−x) = −x − x²/2 − x³/3 − x⁴/4 − . . . − x^n/n − . . .
f(x) = ln(6−x)
f(x) = ln(6(1−x/6))
f(x) = ln(6) + ln(1−x/6)
f(x) = ln(6) − x/6 − (x/6)²/2 − (x/6)³/3 − (x/6)⁴/4 − . . . − (x/6)^n/n − . . .
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/(2*6²) − x³/(3*6³) − x⁴/(4*6⁴) − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/72 − x³/648 − x⁴/5184 − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
f'(x) = −1/(6−x) -----> f'(0) = −1/6
f''(x) = −1/(6−x)² -----> f''(0) = −1/6²
f'''(x) = −2/(6−x)³ -----> f'''(0) = −2/6³
f⁽⁴⁾(x) = −6/(6−x)⁴ -----> f⁽⁴⁾(0) = −6/6⁴
f(x) = ln(6) − (1/6) x − (1/6²)/2! x² − (2/6³)/3! x³ − (6/6⁴)/4! x⁴ − ... − ((n−1)!/6^n)/n! x^n − ...
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/(2*6²) − x³/(3*6³) − x⁴/(4*6⁴) − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/72 − x³/648 − x⁴/5184 − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
====================
Alternate method:
Use series for ln(1−x) centred at x = 0
ln(1−x) = −x − x²/2 − x³/3 − x⁴/4 − . . . − x^n/n − . . .
f(x) = ln(6−x)
f(x) = ln(6(1−x/6))
f(x) = ln(6) + ln(1−x/6)
f(x) = ln(6) − x/6 − (x/6)²/2 − (x/6)³/3 − (x/6)⁴/4 − . . . − (x/6)^n/n − . . .
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/(2*6²) − x³/(3*6³) − x⁴/(4*6⁴) − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .
f(x) = ln(6) − x/6 − x²/72 − x³/648 − x⁴/5184 − . . . − x^n/(n*6^n) − . . .